Une famille d'entiers divisibles par 6 - Corrigé

Énoncé

Déterminer les entiers relatifs \(n\) tels que \(n^2-4n+3\) soit divisible par \(6\) .

Solution

On fait un tableau de congruences modulo \(6\) .

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n \equiv ... \ [6]& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline n^2 \equiv ... \ [6]& 0& 1& 4& 9 \equiv 3& 16 \equiv 4& 25 \equiv 1\\ \hline 4n \equiv ... \ [6]& 0& 4& 8 \equiv 2& 12 \equiv 0& 16 \equiv 4& 20 \equiv 8\\ \hline n^2-4n+3 \equiv ... \ [6]& 3& 0& 5& 0& 3& -4\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  

Ainsi, pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) , \(n^2-4n+3\) est divisible par \(6\) si, et seulement si, \(n\) est de la forme \(n=6k+1\) ou \(n=6k+3\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .